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军转行测答题技巧:巧用隔板模型,同素分堆问题

2016-07-23 15:29:13| 来源:中公军转干考试网

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一、基本模型

到底什么是同素分堆问题呢,我们可以把他归纳成一个数学模型:将n个完全相同的元素分成m份,每份至少分一个,问一共有多少种分法?这是同素分堆问题的基本模型,下面我们来通过一个例子来说明如何用隔板模型求解。

例:有10个完全相同的苹果,分给3个小朋友,要求每个小朋友至少分一个,有多少种分法?

隔板模型,顾名思义就是用隔板来分,把要分的10个苹果一字排开,在间隙处插上两个隔板就可以分成3份,而且必须满足两个要求,一是隔板不能插苹果的两端,二是两个隔板不能插一起,因为这两种情况都不能保证分成三份并且每份至少一个,所以两个隔板只能插在9个空当中,换句话说,也就是将两个隔板插到9个空当中,每个空里插一个隔板,一共有多少种插法?根据组合定义可知用C_9^2 计算即可。同理,如果是8个苹果分给4个小朋友那就是 C_7^3,这样我们就找到了同素分堆问题的公式,n个相同元素分成m份,每份至少分一个,一共有C_(n-1)^(m-1) 种分法。

二、模型扩展

同素分堆问题还有两种扩展题型,第一种是将已知条件改为每份至少分多于1个,这种情况只需先分一部分,再按每份至少分一个分就可以了,比如10个苹果分给3个人,没人至少分2个,先拿出3个苹果,每人一个,再每人至少分一个,一共C_6^2 种分法;第二种是将每份至少1个这个条件直接去掉,就相当于每份至少分0个,此时可以假设从每份先借1个过来,再按照每份至少分一个,这样最后达到的效果仍然是每份至少分一个,所以一共有C_12^2 种分法。

有了隔板模型,同素分堆问题是不是瞬间变得超级简单了呢?

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